MODELO COMPARTIMENTO ADAPTADO

O modelo conceitual apresentado (na Figura 1) é baseado nos modelos SIR e SIER, que trata a população como grupos agregados em relação à condição frente à doença. Neste caso, assumimos que a população se divide em:

• S, susceptíveis ao agente transmissor da doença (vírus);
• E expostos à contaminação, mas ainda não são transmissores (latentes ou em período de incubação);
• I, infectados e que transmitem o vírus; R, recuperados (imunizados); e
• M que vieram a óbito. Os subscritos n e g indicam um caso infectado normal e um caso grave, respectivamente.

Deste modo, o modelo pode ser representado por um conjunto de equações cinéticas, Eqs. (1) - (7), para conversão de indivíduos de um grupo para outro.

$$\begin{aligned} S &\overset{\beta_n}{\rightarrow} E\\ S &\overset{\beta_g}{\rightarrow} E\\ E &\overset{\beta_n}{\rightarrow} I_n\\ S &\overset{\beta_n}{\rightarrow} E\\ S &\overset{\beta_n}{\rightarrow} E\\ S &\overset{\beta_n}{\rightarrow} E\\ S &\overset{\beta_n}{\rightarrow} E\\ S &\overset{\beta_n}{\rightarrow} E\\ \end{aligned}$$

nas quais as letras gregas representam as constantes cinéticas, tais quais $\beta_n$ e $\beta_g$ $[dia^{-1}]$ são as constantes de proporcionalidade diária com que indivíduos $S$ que são expostos por contato com indivíduos $I_n$ e $I_g$, respectivamente, e tornam-se $E$; $\alpha$ $[dia^{-1}]$ é a constante de proporcionalidade diária relacionada à latência dos indivíduos $E$ para se tornarem $I_n$; e $\gamma$ $[dia^{-1}]$ é a constante de proporcionalidade diária dos indivíduos infectados normais $I_n$ que evoluem para grave $I_g$ e recuperado $R$ ($\gamma_{n-g}$ e $\gamma_{n-R}$, respectivamente) ou $I_g$ que evoluem para recuperado$R$ e morto $M$ ($\gamma_{g-R}$ e $\gamma_{g-M}$, respectivamente).

A constante $\beta$ pode ser interpretada como o número médio de contatos adequados (i.e., contatos suficientes para a transmissão) de uma pessoa por unidade de tempo. Assim, o termo $\beta I / N$, com $N$ sendo o total da população, é o número médio de contatos infecciosos por unidade de tempo dos indivíduos $S$. Então, o número de novos casos por unidade de tempo devido a isto é $(\beta I⁄N)S$. Essa forma de incidência horizontal é chamada de padrão incidência [REF].

PARÂMETROS CINÉTICOS DO MODELO MATEMÁTICO EPIDEMIOLÓGICO

Este texto descreve o significado dos parâmetros cinéticos utilizados no modelo matemático epidemiológico usado para simular o comportamento dinâmico da pandemia da COVID-19, apresentando os valores para cada parâmetro e como foram estimados ou de onde foram extraídos com base em estudos publicados em periódicos científicos.

Número básico de reprodução (R0): número de infecções secundárias causada por cada transmissor;

Parâmetros do modelo:

• $R0_n$ (Normal)
• $R0_g$ (Faixa de valores – Grave)

Tempo Médio de Infecciosidade (Tinf): é o número médio de dias após o início dos sintomas que um indivíduo infectado levará para infectar um caso secundário.

Parâmetros do modelo:

• $T_inf$

Constante cinética da reação de contágio ($beta$): Associada à cinética de contágio de um indivíduo suscetível por um infectado. Representa o número médio de contato por pessoa por tempo multiplicado pela probabilidade de transmissão da doença devido ao contato de um indivíduo suscetível e um infectado $[dia^{-1}]$. É também estimado por $R0/T_inf$, onde $R0$ é o número básico de reprodutividade e $T_inf$ o tempo médio de infecciosidade;

• Estimativa do parâmetro $beta$ em função de $R0$ e do percentual de pessoas em quarentena

O número básico de reprodução, $R0$, é o valor médio de infecções que ocorrem quando um indivíduo infeccioso encontra uma população completamente suscetível (i.e., $N=S$) [REF]. O número de contato, $r$, é o valor médio de contatos efetivos (i.e., que transmitem a infecção para indivíduos $S_i$) de um infeccioso típico durante o período infeccioso [REF]. O número de substituição $R$ é o valor médio das infecções secundárias produzidas por um infeccioso típico durante toda a duração da infecciosidade [REF]. Os valores $R0$, $r$ e $R$ são iguais no início da propagação de uma doença infecciosa quando $N=S$. Para a maioria dos modelos, estes valores permanecem iguais ao longo de toda a infecção e são intercambiáveis [REF], como assumiremos aqui. Assim, o valor $\beta$ é estimado como sendo $r$ ou $R0$ dividido pelo tempo médio de infecciosidade ($T_inf$).

No modelo aqui proposto considera-se que o valor efetivo do número básico de reprodução, $R0$, é afetado por um fator multiplicador, entre zero e um $[0,1]$ , que representa uma ponderação referente à adoção maior (mais próximo de zero) ou menor (mais próximo de um) pela população da quarenta ou isolamento social. Assim, na prática, o valor utilizado no modelo é uma fração do valor $R0$ caraterístico da doença.

Uma proposta para estimativa desta fração é utilizar o percentual da população em quarentena, como, por exemplo, os valores oriundos das ferramentas do InLoco que medem a movimentação diárias das pessoas por meio das conexões dos telefones celulares, e, à partir deste percentual, obter o fator multiplicado como sendo $[1 – (\%~população~em~quarentena)/100]^2$. Esta proposta se baseia no fato de que, quando uma porção da população está em quarentena, o contato dos susceptíveis e dos infectados é menor, reduzindo a taxa de contaminação que depende diretamente da quantidade de susceptíveis (agora diminuídos da fração $[1 – (\%~população~em~quarentena)/100]$ e de infectados (também diminuídos da fração $[1 – (\%~população~em~quarentena)/100]$).

Parâmetros do modelo:

• $PC=[1 – (\%~população~em~quarentena)/100]^2$ (Fator de quarentena)
• $\beta_n = PC \cdot R0_n/T_{inf}$ (Normal)
• $\beta_g = PC \cdot R0_g/T_{inf}$ (Grave)

Tempo de Incubação ($T_{inc}$): tempo desde a infecção até o início dos sintomas, momento a partir do qual o indivíduo contaminado permanece com o vírus incubado e não infecta outras pessoas. Durante este período o indivíduo infectado não transmite o vírus. Com base nos indivíduos com períodos de exposição e início dos sintomas bem definidos, obteve-se um tempo de incubação de $4.8$ dias (95% IC, 4.2 – 5.4) [REF].

Parâmetros do modelo:

• $T_{inc}$

Constante de latência ($\alpha$): é a constante de proporcionalidade diária relacionada à latência ou incubação do vírus.

Parâmetros do modelo:

• $\alpha=1/T_{inc}$

Taxa de remoção de infectados ($\gamma$): É uma constante de proporcionalidade relacionada à velocidade em que um indivíduo deixa de pertencer a uma população específica de infectados.

Parâmetros do modelo:

• $\gamma_{n-G} =1/(tempo~para~passar~de~não~grave~para~grave)$
• $\gamma_n-R = 1/(tempo~para~recuperação~de~ um~ não~ grave)$
• $\gamma_g-R = 1/(tempo~para~recuperação~ de~ um~ grave)$
• $\gamma_g-M = 1/(tempo~para~óbito~ e~ um~ grave)$

Site	$\beta_0$	$\beta_A$
A	3	1
B	4	2

Site	$\beta_0$	$\beta_A$
$\beta$	3	1
$\beta$	4	2

• $R0$
• $R0_n$ (Normal)
• $R0_g$ (Faixa de valores – Grave)
• $R$
• $T_inf$
• $\beta$
• $PC=[1 – (\%~população~em~quarentena)/100]^2$ (Fator de quarentena)
• $\beta_n = PC \cdot R0_n/T_{inf}$ (Normal)
• $\beta_g = PC \cdot R0_g/T_{inf}$ (Grave)
• $T_{inc}$
• $\alpha=1/T_{inc}$
• $\gamma_{n-G} =1/(tempo~para~passar~de~não~grave~para~grave)$
• $\gamma_n-R = 1/(tempo~para~recuperação~de~ um~ não~ grave)$
• $\gamma_g-R = 1/(tempo~para~recuperação~ de~ um~ grave)$
• $\gamma_g-M = 1/(tempo~para~óbito~ e~ um~ grave)$